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Les ondelettes littéralement petites ondes sont des signaux mathématiques possédant de bonnes propriétés utilisées pour décomposer et synthétiser des signaux numériques sous la forme de séries lacunaires. Elles ont été imaginées dans les années 1980 par J. Morlet puis popularisées par Y. Meyer et S. Mallat principalement pour combler les vides de l'analyse de Fourier. Les ondelettes se retrouvent aujourd'hui câchées derrière de nombreuses innovations comme le format de compression d'image jpeg2000, le codec vidéo Mpeg4 ou bien encore la tomographie.
Construction mathématique
Mathématiquement parlant, une ondelette est une fonction
- oscillante
- régulière (continue, dérivable) au sens de Hölder
- localisée en temps et en fréquence
Cette dernière caractéristique est expliquée dans la section plus loin sur le plan temps-fréquence.
Ondelette de Meyer
Un exemple d'ondelette de régularité infinie a été construit par Y. Meyer et est défini par sa transformée de Fourier
avec la fonction intermédiaire
L'ondelette de Meyer illustrée ci-dessous dans l'espace de la variable physique et dans l'espace de Fourier est clairement oscillante, de classe de régularité infinie et bien localisée à la fois en temps et en fréquence.
D'autres exemples de motifs sont donnés en préambule par les ondelettes
-
Doglet2 ou chapeau mexicain, infiniement régulière, bien localisée mais faiblement oscillante
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Daublet2 ou ondelette Daubechies à support compact
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Coiflet3, une variante presque symétrique avec des moments nuls addtionnels
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Spline4 créée à partir de l'interpolation par polynômes spline
Plan temps-fréquence
Une autre représentation est de dessiner le motif ondelette dans le plan temps-fréquence à savoir horizontalement l'axe des temps et verticalement l'axe des fréquences. La représentation de l'ondelette de Meyer met en évidence une boite dite de Heisenberg qui caractérise l'aire qu'occupe le motif de Meyer dans le plan temps-fréquence.
Dire que l'ondelette est bien localisée dans le plan temps-fréquence signifie que l'aire de la boite est la plus réduite possible. Le principe d'incertitude d'Heisenberg nous montre qu'il existe une aire minimale atteinte pour le seul motif doglet.
