Les ondelettes en pratique

L'exemple suivant illustre parfaitement les possibilités offertes par l'analyse temps-fréquence ondelettes pour extraire une information essentielle câchée dans un signal que l'analyse classique de Fourier ne peut mettre en lumière.

Le signal considéré est un enregistrement numérique d'un son de clarinette, rescalé en temps et dont le temporel révèle la présence d'une succession d'oscillations à une fréquence stationnaire ce qui semble attester de la présence d'une note de musique jouée. Le spectre de puissance de Fourier calculé indique clairement la présence de deux pics de fréquences :

• le premier pic f0 = 4,9 Hz est la fréquence fondamentale de la note
• le second pic f3 = 13,7 Hz coincide avec l'harmonique 3 de la note

Le spectre de Fourier indique vaguement la présence d'une bande spectrale continue en deça de f0. Ces informations spectrales sont possiblement corrélées à l'apparition de petites fluctuations au début du son mais demeurent inexpliquées.

Le scalogramme temps-fréquence du son de clarinette calculé avec l'ondelette de Meyer permet d'explorer la dynamique du signal avec un regard nouveau. L'énergie du son est principalement localisée dans deux amas situés dans des bandes de fréquences étagées:

• un premier amas en rouge dans la zone de fréquence voisine de f0=4,9 Hz qui existe tout au long de la note jouée en s'étirant horizontalement
• un second amas en bleu dans la zone de fréquence voisine de f3=13,7 Hz qui existe au début de la note jouée et dont l'énergie est rapidement évanescente

Le caractère multirésolution de l'analyse en ondelette utilisée offre en outre une possibilité de zoom numérique qui permet litéralement de plonger au coeur du signal pour révèler la présence d'un troisième amas de faible énergie, voisin de la fréquence du second harmonique f2=9,8 Hz de la note jouée. 

Un algorithme du grimpeur fou est utilisé pour calculer la crête des amas qui localise une forte concentration en énergie et permet de suivre l'évolution des fréquences instantanées des composantes du son de la clarinette :

• la fréquence de la crête du premier amas rouge démarre à 2,2 Hz au début du son puis augmente sensiblement à la manière d'un chirp pour se stabiliser sur la fréquence f0=4,9 Hz de la note fondamentale
• La crête du second amas démarre un peu plus tard et grimpe depuis 8 Hz pour se stabiliser sur la fréquence f3=13,7 Hz avant de quasi disparaitre faute d'énergie

L'analyse en ondelettes met donc en évidence une migration des fréquences f0 et f3 au début de la note jouée ce qui physiquement s'interprète comme l'attaque de la note. Ce cas pratique met ainsi en lumière l'une des innombrables possibilités offertes par l'analyse en ondelettes pour extraire les informations temps-fréquences d'un signal au transitoire complexe.