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L'analyse en ondelettes consiste à effectuer une comparaison locale d'un signal avec des motifs ondelette à la manière d'un microscope mathématiques permettant de zoomer dans le signal à différentes échelles.
La transformée utilise une convolution entre le signal et des translatées d'une position b et des dilatées d'une échelle a de l'ondelette mère pour construire le champ bidimensionnel défini sur le plan temps-fréquence (a,b)
Moyennant une condition d'admissibilité sur l'ondelette, la transformée est réversible et permet de reconstruire le signal à partir de la formule de synthèse
La transformée utilise une convolution entre le signal et des translatées d'une position b et des dilatées d'une échelle a de l'ondelette mère pour construire le champ bidimensionnel défini sur le plan temps-fréquence (a,b)
Moyennant une condition d'admissibilité sur l'ondelette, la transformée est réversible et permet de reconstruire le signal à partir de la formule de synthèse
Effet d'une translation-dilatation en Fourier
Les opérations de translation et de dilatation d'une fonction dans l'espace physique ont leur pendant dans l'espace de Fourier
- tranlation d'une position b
- dilatation d'un facteur a
- translation-dilatation combinée (a,b)
La représentation du motif translaté-dilaté de l'ondelette dans le plan temps-fréquence présente un intérêt tout particulier
La transformation imaginée par J. Morlet permet de paver l'ensemble du plan temps-fréquence en choisissant des couples (a,b) adaptés. Cette propriété permet de faire une analogie avec le microscope optique qu'est la transformée qui permet de zoomer à l'intérieur d'un signal
- à une position donnée par la distance focale b,
- avec un grossissement donné proportionel à 1/a
- l'objectif du microscope étant donné par le choix par l'ondelette
Transformée en ondelette discrète
Un résultat donné par I. Daubechies permet de montrer qu'un réseau discret de points (aj,bk) du plan temps-fréquence est suffisant pour reconstruire un signal à partir de la connaissance de sa transformée en ondelettes calculée sur le réseau encore appelé réseau dyadique. Graphiquement le passage du continu au discret est symbolisé par le diagramme suivant
La transformée en ondelette discrète revient ainsi à représenter un signal à l'aide d'une série d'ondelettes dont les coefficients sont donnés par
- analyse: coefficients d'ondelettes
- synthèse: série d'ondelettes
Dans le cas d'un signal régulier, sa série d'ondelette associée a l'avantage d'être lacunaire.
Scalogramme ondelettes
Il devient possible de visualiser l'énergie "ondelette" d'un signal donné en adoptant la représentation scalogramme qui consiste à dessiner les lignes isocontours du module du champ ondelettes calculé sur le réseau dyadique. Reprenant à son compte la notion de frame d'ondelettes, Letscan a développé le concept innovant d'analyse en ondelette super-résolution qui permet d'analyser les fréquences instantanées d'un signal décomposé sur des grilles dyadiques denses du plan temps-fréquence avec des possibilités de zoom adaptatif.
Un exemple est donné par l'analyse d'un signal qui contient des informations transitoires. Le scalogramme met en évidence une succession d'amas dont les crêtes concentrent des informations essentielles sur les fréquences instantannées du signal.
